Caro Ulisses, a extinção de um processo sem resolução do mérito por inépcia tem várias causas, previstas no art. 295, parágrafo único, do CPC, quais sejam: 1) falta de pedido ou causa de pedir; 2) da narração dos fatos não decorrer logicamente a conclusão; 3) o pedido for juridicamente impossível; e 4) contiver pedidos incompatíveis entre si. Difícil saber qual a chance de sucesso de um recurso nesse caso, por não saber qual a fundamentação da sentença. De todo modo, é perfeitamente cabível o recurso de apelação contra a sentença extintiva. Talvez não seja a melhor opção, pois creio que iria retardar ainda mais a solução da causa. Como a extinção da ação foi sem resolução do mérito, acho que a melhor ideia é pedir o desentranhamento dos documentos que estão no processo extinto e ajuizar uma nova ação, com outro advogado.
Por outro lado, nada impede que você intente uma ação de indenização contra o(a) advogado(a) que ficou inerte e deu causa à longa tramitação do processo anterior, sem êxito, desde que consiga comprovar que a culpa pela extinção foi exclusiva desse(a) advogado(a). A atividade da advocacia é considerada atividade-meio e não atividade-fim, de modo que não se pode exigir que o advogado consiga êxito na ação. Porém, se a atuação do advogado é desidiosa, se o êxito não foi obtido por sua incompetência, inércia, descompromisso profissional, este é passível de responsabilização civil pelos danos causados ao cliente.