Olá vitor! a resposta é sim! art.451 CLT

nao obstante tratar-se de pessoa juridica de direito publico, sua relação com o hospital é natureza celetista, logo, dentre outros direitos previstos na CF e CLT, voce terá direito a receber sim o FGTS. Vale lembrar tambem, vc nao mencionou, mas pelo que entendi seu contrato era por prazo determinado, contudo, essa prorrogação so pode se dar 01 vez dentro de 2 anos, sob pena de ser considerado por prazo indterminado, em sendo assim seu contrato é por prazo indeterminado.

Agradeço a resposta Luiz, mas tenho outra dúvida: já perdi uma ação na Vara de fazenda Pública e Autarquias, onde pretendia o meu reconhecimento como titular de cargo efetivo. Mesmo assim, posso postular o depósito do FGTS na Justiça do Trabalho?